Me encontré esta mezcla estudiando unos apuntes de Pedro Alegría, y me he llevado una grata sorpresa al profundizar en ella y ver sus propiedades. Esta mezcla fue estudiada por el matemático Gaspard Monge allá por 1773, pero realmente no conozco muchas aplicaciones en efectos de cartomagia.



La mezcla Monge consiste en lo siguiente:

1) Con el paquete de cartas en la mano izquierda, empujar la primera carta a la mano derecha.
2) La segunda carta del paquete de cartas de la mano izquierda, empujarla a la mano derecha para colocarla encima de la que ya tiene.
3) La tercera carta del paquete de la mano izquierda, se empuja y se coloca debajo de las cartas de la mano derecha.
4) La siguiente carta del paquete de la mano izquierda, se empuja y se coloca encima de las cartas de la mano derecha.
5) Así se sigue el proceso, alternando "encima y debajo" hasta acabar con todo el paquete de cartas de la mano izquierda.

Como una imagen vale más que mil palabras, aquí tenéis un vídeo demostrativo:

Como veis, es bien sencillo de realizar, y muy engañosa para el espectador.
Esta mezcla es ideal para pocas cartas (menos de 20), ya que con más, se hace muy pesada.

Pero pasemos a sus propiedades, que es lo interesante.

(1) Lo primero que miraremos es ¿cuántas mezclas deben hacerse para restaurar el orden inicial de las cartas? En el siguiente cuadro se muestra:

Núm. de cartas	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	26	32	52
Núm. mezclas	2	3	6	4	6	10	14	5	18	10	26	6	12

En la tabla solamente aparecen los resultados para un número par de cartas del paquete, y eso es por la siguiente propiedad:

(2) Sea "n" = número de cartas que contiene el paquete que se quiere mezclar

Si "n" es impar, la mezcla Monge deja la carta de abajo (bottom) en su lugar. Esto indica que para estudiar la mezcla, podemos prescindir de la carta de abajo y la mismas propiedades que tiene para un número par de cartas, servirán para un número impar.
Es decir, si tenemos un paquete de 9 cartas, necesitamos mezclar 4 veces para volver al orden inicial (igual que si tuviéramos 8 cartas, ya que la bottom no se mueve), y así con cualquier número impar de cartas.

(3) Otras propiedades interesantes son las siguientes ("n" par):

- La carta de abajo (bottom) pasa a arriba (top).
- La carta de arriba (top) pasa a la posición "la mitad más uno".
- La penúltima carta (bottom-2) pasa a abajo (bottom).
Esquemáticamente sería:
$$n \rightarrow 1 \\
1 \rightarrow \frac{n}{2}+1 \\
n-1 \rightarrow n$$

En general, se puede demostrar que para un número par de cartas, la mezcla Monge mueve las cartas de la siguiente manera:
$$ x_{0}=posición \ inicial \ de \ la \ carta \\ x_{1}=posición \ final \ de \ la \ carta $$
entonces
$$x_{1}=\frac{n+x_{0}+1}{2} \ Si \ x_{0}=par \\
x_{1}=\frac{n-x_{0}+2}{2} \ Si \ x_{0}=impar$$

Esto nos confirma, que la mezcla Monge, no mezcla las cartas al azar, sino que las cambia de lugar siguiendo un patrón (en matemáticas se llama "permutación").

¡Y ahora viene lo más interesante! En el siguiente cuadro se muestra información sobre la mezcla Monge de pocas cartas:

NÚM. CARTAS	PERIODO	MOVIMIENTO DE LAS CARTAS	CARTA QUE  NO SE MUEVE
2	2	(1 2)	-
3	2	(1 2)	3
4	3	(1 3 4)	2
5	3	(1 3 4)	2, 5
6	6	(1 4 2 3 5 6)	-
7	6	(1 4 2 3 5 6)	7
8	4	(1 5 7 8) (2 4 3 6)	-
9	4	(1 5 7 8) (2 4 3 6)	9
10	6	(1 6 3 7 9 10) (2 5 8)	4
11	6	(1 6 3 7 9 10) (2 5 8)	4, 11
12	10	(1 7 10 2 6 4 5 9 11 12) (3 8)	-
13	10	(1 7 10 2 6 4 5 9 11 12) (3 8)	13

"PERIODO" es el número de mezclas que devuelven el orden inicial del paquete de cartas.

"CARTA QUE NO SE MUEVE" son las cartas que no mueven su posición tras realizar la mezcla Monge.

"MOVIMIENTO DE LAS CARTAS" explica cómo varían su posición las cartas tras realizar la mezcla, y se lee de la siguiente forma:

Para un paquete de 10 cartas,

(1 6 3 7 9 10) nos indica que la carta en la posición 1 pasa a la 6, la 6 a la 3, la 3 a la 7, la 7 a la 9, la 9 a la 10 y la 10 a la 1.

(2 5 8) nos indica que la carta en la posición 2 pasa a la 5, la 5 a la 8 y la 8 a la 2.

La carta número 4 no se mueve.

Es decir, en este caso las cartas 2,5,8 sólo se "mezclan" entre sí y no con las otras.

Esta fantástica propiedad de la mezcla, permite tener "controladas" algunas cartas, con lo que se puede montar efectos muy buenos, como, por ejemplo, el siguiente:

1) De un paquete de 10 cartas, colocar primero en las posiciones 2, 4, 5 y 8 (desde los dorsos), cuatro cartas rojas y las seis restantes de color negro.
2) Realizar la mezcla Monge tantas veces como se desee, incluso, dejar que el espectador lo haga.
3) Con el paquetito de dorso en manos del espectador, anuncia que vas a tratar de adivinar el color de cada carta antes de que el espectador la muestre. Dado que sigue siendo cierto que la segunda, la cuarta, quinta y octava son rojas, puedes adivinar la carta antes que el espectador la voltee encima de la mesa. Es divertido dejar que el espectador intente adivinar también, ya que al fallar se demuestra la dificultad de las predicciones.
Este efecto mejora mucho si las cuatro cartas rojas utilizadas corresponden a figuras y se le añade una historia adecuada.

Espero que con este pequeño efecto y las propiedades de esta fantástica mezcla, tengáis un instrumento más para montar vuestros juegos.

Aquí os dejo algunos juegos más:

http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2012/01/mezcla-el-monje-o-monge.html

...y un efecto de Aldo Colombini donde utiliza esta mezcla:
http://www.youtube.com/watch?v=VBKRJfGK0Do

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

El matemático belga Maurice Kraitchik, demostró que para un paquete de "2p" cartas, se puede establecer una fórmula que determine la posición final de una carta, después de realizar "m" mezclas Monge. Es la siguiente:

$$x_{0}=posición \ inicial \ de \ la \ carta \\ x_{m}=posición \ final \ de \ la \ carta \ después \ de \ "m" \ mezclas$$

$$ 2^{m+1}·x_{m}=(4p+1)·[2^{m-1}+(-1)^{m-1}·(2^{m-2}+ \ldots +2+1)]+ \\ (-1)^{m-1}·2·x_{0}+2^{m}+(-1)^{m-1}$$

Si queréis profundizar más (matemáticamente) en esta mezcla, os recomiendo los siguientes enlaces:

http://documat.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=4210390 (a partir de la pág. 8 del texto)

"The matematics of perfect shuffles" (Persi Diaconis, JL. Graham and W. Kantor)

Mucho ya se ha escrito y estudiado sobre la cuenta Australiana ("Down Under Deal" en inglés). Para los más despistados, recordar que la mezcla australiana consiste en, de un mazo de cartas, coger la primera carta y ponerla debajo, la segunda a la mesa, la tercera debajo, la cuarta a la mesa, y así sucesivamente hasta que se quede una en la mano. La pregunta a continuación es obvia: "¿Se puede saber qué carta me quedará en la mano?". La respuesta es que SÍ y depende del número de cartas que tenga el mazo inicial.

De esta manera, saber con antelación qué carta quedará en la mano nos proporciona una fuerte herramienta para nuestros juegos y rutinas de magia.

A continuación os pongo una tabla con la carta que queda en mano tras la mezcla dependiendo del número de cartas del mazo inicial:

n= número de cartas mazo inicial    J(n)= carta que te queda en mano

Lo primero que se observa es que si el número de cartas es una potencia de 2, entonces siempre me quedo al final con la primera carta (la de "top").

A partir de aquí, se puede deducir una fórmula matemática para calcular rápidamente la carta que me quedará en mano:

Si $$NúmCartas=2^m+k \rightarrow CartaEnMano=2k+1$$

Pero con un ejemplo siempre va mejor...

Si nuestro mazo de cartas tiene 19 cartas, entonces

$$NúmCartas=19=16+3=2^4+3 \rightarrow CartaEnMano=2·3+1=7$$
Si esta fórmula resulta muy compleja, se puede utilizar una regla mnemotécnica un poco más sencilla (versión improntu de la fórmula):

Del número de cartas del mazo, resto la (anterior) potencia de 2, para después hacer el doble y sumar 1, es decir,

Número de cartas del mazo = 19
Potencia de 2 más cercana = 16
Restar = 19 - 16 = 3
Calcular el doble más uno = 2·3+1=7

OBSERVACIÓN: También puede empezarse esta cuenta con la primera carta en la mesa, la segunda debajo, la tercera en la mesa, etc, es decir, a la inversa de lo anteriormente explicado. Esta cuenta se le denomina "Under Down Deal".
La fórmula que permite calcular la carta que queda al final del proceso es exactamente igual, pero sin sumar "1". Por ejemplo, si tengo 19 cartas, resto la (anterior) potencia de 2, para después hacer el doble, es decir,

Número de cartas del mazo = 19
Potencia de 2 más cercana = 16
Restar = 19 - 16 = 3
Calcular el doble = 2·3=6

Por lo tanto si hacemos la cuenta a la inversa, en el cuadro resumen anterior, la carta que queda en la mano -J(n)- se obtiene restando "1", salvo en las potencias de dos, que quedará la "bottom" en lugar de la "top". Por ejemplo, para n = 14, será J(n) = 12, y para n = 16, J(n) = 16

-----------------------------------

Muchos juegos han sido creados a partir de esta mezcla por grandes magos. A modo de ejemplo os traigo un juego ideado por el gran Alex Emsley de la mano del fantástico Gustavo Otero:

Aquí tenéis otro juego ideado por Roberto Giobbi: Juego de Einstein
...y aquí un estupendo estudio y generalización del juego anterior: Destejiendo el Juego de Einstein

APÉNDICES PARA MATEMÁTICOS:

1) Hay otra forma de encontrar "rápidamente" la carta que me queda en la mano al final de la cuenta, utilizando el sistema binario (descubierto por Mel Stover). Es así:

Si el número de cartas del paquete es, por ejemplo, 26, en sistema binario sería, 11010. Pues bien, si cogemos el primer 1 y lo colocamos al final, quedaría 10101, que es el número 21...¡justo la carta que nos quedará en la mano!

Con lo cual, para saber qué carta queda en la mano, debemos poner el número de cartas en sistema binario, coger el primer 1, colocarlo al final, y volver a transformar el número a sistema decimal para descubrir qué carta es la que me queda en la mano. ¡Realmente Magnífico!

2) Esta mezcla es conocida por la comunidad matemática como el "Problema de Josefo":

Resolución para N=12

Flavio Josefo fue un historiador judío que vivió en el siglo I. Según cuenta Josefo, él y cuarenta soldados camaradas fueron capturados por los romanos después de la caída de Jotapata. Antes que rendirse, decidieron acabar ellos mismos con sus vidas. Para hacerlo, se dispusieron en un círculo y acordaron que irían contando de tres en tres, de forma que cada tercer soldado sería ejecutado por la persona de su izquierda. El último hombre que quedara con vida tendría que suicidarse. Según cuenta la leyenda, Josefo calculó rápidamente cuál sería la posición del último hombre en morir para colocarse allí, y una vez hubieron muerto sus compatriotas, se entregó a los romanos.

Si queréis algún detalle más de esta leyenda tan matemática, aquí os dejo un artículo divulgativo de Clara Grima al respecto: AQUÍ

Simuladores del problema:
1: http://www.cut-the-knot.org/recurrence/flavius.shtml
2: http://webspace.ship.edu/deensley/mathdl/Joseph.html

La generalización y explicaciones matemáticas las podéis encontrar:
1) A partir de la pág. 6 de este texto fantástico de Carlos Vinuesa: AQUÍ
2) En este artículo de Pedro Alegría: AQUÍ

Una página muy interesante para matemáticos con afición a la magia, la he encontrado en 

http://www.automagia.com/

En esta página encontraréis muchos artículos escritos por Pedro Alegría y Juan Carlos Ruíz de Arcaute sobre estudios matemáticos aplicados a la magia (muchas veces, cartomagia). Es ésta una página con mucha matemática, que, a mi juicio, creo que interesará más a matemáticos que a magos.

De todas formas, he creído oportuno dedicarle un post, ya que la calidad de los estudios es mucha y seguro que encontraréis cosas realmente interesantes para vuestras rutinas, efectos y/o estudios cartomágicos.

Aquí os dejo una breve reseña de los autores de la página:

Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute son dos vitorianos ex-cuarentones que forman de hecho una pareja complementaria: el primero es matemático profesional y mago aficionado y el segundo mago profesional y matemático aficionado.
Ambas aficiones se han mantenido ininterrumpidas desde hace más de 30 años, lo que se ha reflejado en un estudio conjunto de las posibilidades que ofrece la magia en el fomento de la educación matemática a diferentes niveles.

Podéis dejar vuestros comentarios y opiniones sobre esta estupenda página.

De todas las versiones que conozco del “Juego del Reloj”, me quedo con aquellas en las que el mago es capaz de adivinar, no sólo la hora pensada, sino también la carta en dicha posición. Me remito a las versiones de Ramón Riobóo (“Mi reloj preferido” del libro “La magia pensada”, pàg. 148) y de Gabi Pareras (“El reloj de Moliné”, aquí, además, todas las cartas son iguales excepto la del espectador que resulta diferente a todas).

Quisiera en este post realizar un breve estudio del principio matemático que rige dicho efecto y su generalización, ya que el conocimiento profundo de un efecto puede llevar a nuevos juegos basados en el mismo principio, pero radicalmente diferentes.

PRINCIPIO DEL RELOJ:

De una baraja de cartas, la carta situada en la posición 13, pasa a ocupar la posición “n”, después de retirar “n” cartas e invertir las 12 cartas siguientes.

Con un ejemplo, y las cartas en la mano, se entiende mejor:

  - Carta número 13: 7C
  - Se retiran n = 8 cartas
  - Repartimos en mesa, una a una (invirtiendo), 12 cartas.
  - El 7C pasa a estar en la posición n = 8.

NOTA1: Si no se invierten las 12 cartas, la carta número 13, pasa a ocupar la posición “13-n”

La mayoría de juegos basados en este principio consisten en colocar las 12 cartas invertidas formando un reloj (empezando en la 1h y siguiendo en sentido horario), la carta número 13 quedará situada en la hora exacta que pensó el espectador.

NOTA 2: Si no invertimos las 12 cartas, podemos formar el reloj empezando por las 12h y siguiendo en sentido antihorario, y la carta número 13 también quedará situada en la hora que pensó el espectador.

Pero, como buen matemático, se puede generalizar el “Principio del Reloj” a un número de cartas cualquiera (no necesariamente 12), que aplicado con imaginación puede resultar muy útil para construir algún juego.

PRINCIPIO DEL RELOJ GENERALIZADO:

De una baraja de cartas, la carta situada en la posición inicial “k”, pasa a ocupar la posición “n” después de retirar “n” cartas y a continuación invertir las “k-1” cartas siguientes.

Ejemplo:

  - Carta situada en posición k = 16
  - Retiramos n = 11 cartas
  - Repartimos en mesa, una a una (invirtiendo), k-1 = 15 cartas.
  - La carta queda situada en la posición n = 11.

NOTA3: Si no se invierten las “k-1” cartas, la carta número “k”, pasa a ocupar la posición “k-n”

Tengo que reconocer que no me viene a la cabeza ningún efecto basado en este "principio generalizado", pero si algún lector lo conociese, le invito a que nos lo haga saber.

Debo, por último, dar la gracias a Jordi Mensa (miembro de la SEI de Barcelona), que me pasó un amplio estudio sobre dichos principios y sus aplicaciones a algunos efectos de cartomagia.